原来，阿基米德由á澡盆溢水联想到王冠也可以泡在水里，溢出水的体积就是王冠的体积，而这体积与同等重的金块的体积应该是相同的，否则王冠里肯定有假。就是说，同等重量的东西泡进水里而溢出的水不一样，肯定它们就是不同的物质。每一件物质和相同体积的水都有上个固定的重量比，这就是比重。直到现在，物理实验室里还有一种求比重的仪器，名字就叫优勒加，以纪念这一不寻常的发现。
读者有所不知，这阿基米德还有一个ฐ怪毛病，就是家里桌上有了灰尘，从不许别人擦去，以便他在上面画ฑ图计算。炉灰掏出来不让马上倒掉，也要摊在地上画个半天。因为当时并没有现在这样方便的纸笔。更有怪者，他常痴痴呆呆地在自己身上涂画。当时人们用一种特产的泥团当肥皂。一天他准备洗澡，可是刚脱了上衣，就抓起一团泥皂在肚子土、胸脯上涂画起来，画了个三角又画圆，边画边思考那顶ะ恼人的王冠。这时他的妻子走进来，一看就知道他又在犯痴，二话没说，便一把将他推入卫生间。他一面挣扎，一面喊道：不要湿了我的图形！不要湿了我的图形！但是哪由分说。这厉害夫人逼阿基米德洗澡，也已经是平常事了。他还未喊完，已扑通一声跌入池中，夫人掩门而去。谁知这一跌倒使他的思路从那些图形的死胡同里解脱出来，他注视着池沿。原来池水很满，他身子往里一泡，那ว水就顺着池沿往外溢，地上的鞋子也淹在水里，他急忙探身去取。而他一起身水又立即缩回池里，这一下他连鞋也不取了，又再泡到水里，就这样一出一入，水一涨一落。再说夫人刚走出门外，正要去干别ี的事，忽听那水池里啦啪啦啪啦地响，水唰唰啦啦地在地上乱流。她停步返身，正要喊：连洗澡也不会啊！忽然阿基米德浑身一丝不挂，湿淋淋地冲出门来把她碰了一个倒起，她忙伸手，滑溜溜地没有抓住。阿基米德已冲到街上，高喊着：优勒加！优勒加！（意即发现了）夫人这回可真着了急，嘴里嘟嚷着真疯了，真疯了，便随后也追了出去。街上的人不知发生了什么事情，也都跟在后面追着看。阿基米德头也不回地向王宫一路跑去。
再说这毕达哥拉斯将那数学知识运用得纯熟之ใ后，觉得这实在是一套了不得的本事，不能只满足于用数来算题解题，于是他要试着从数学扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出凡物皆数，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯ั还在自己้的周围建立了一个青年兄弟会，入会者都要宣誓不把知识泄露给外人，这样他才肯向他们传授数学。可见当时才萌芽的数学是多么神秘。毕达哥拉斯ั死后大约5๓0年间，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
自从这个定理问世以来，东西方不知有多少数学家来设法证明，真是百花齐放，各有所妙。这都是后话。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633-17๕21），他发明的一种证法却极简便，只需用一张硬纸，剪上几刀，一并就知，列位如有兴趣不妨一试。
这时，罗马人的舰队已๐渐渐地逼近了叙拉古。克劳狄乌斯站在指挥船上，腰佩长剑，头戴铁盔。为了防备叙拉古城上那ว木头架子怪物再伸出魔爪，他命令将每八艘战舰锁在一起，连成一个ฐ巨大的海上战台，给士兵们配备了特制的大斧ร，准备砍断木架上伸出的魔手，然后就可以架云梯登城。可是当他们的战舰接近叙拉古的时候，却看到เ城头上并没有那个怪物木头架子，也没有弯弓持枪的守兵，却看到城门大开着！这时城里走出三五成群的妇女穿着长长的白衣裙，飘飘然然地走向海ร边，有的爬上礁石，有的靠近水边，妇女群中ณ还夹着少数老人、孩子。这是干什么呢？阿基米德这个怪老头子，又在玩什么诡计。克劳狄乌斯不觉犯了寻思，他忙令水手停桨，手搭凉棚仔细观察一番。不错，都是些妇女、老弱。对，一定是北面攻打得紧，城将失守，他们出城投降来了。想到这里克劳狄乌斯高兴起来，他好像看见了妇女们焦愁的面容，听到了她们乞怜求饶的柔语娇声。他哈哈大笑起来。传令水手们用快速前进，好抢头功。
这时，分散在海边排成一个弧形的妇女们，每人从使怀里掏出了一面镜子。如火的阳光照ั射镜面，立即反射出一束束强烈的光芒。克劳狄乌斯看到เ了，以为那ว是一种别致的欢迎仪式，更加欣喜若
狂。可是不一会，这些光束渐渐集中到เ船上，对准了桅杆，盯在那高大的白帆上。船随着海浪ฐ在起伏颠簸，光束随船帆上下移动，但却像吸住一样，总不离开那面布帆。这时满船将士才不安起来，莫非阿基米德又想出了什么怪点子吧。一会儿有人喊，船帆有点发黑了，有人又喊，闻到焦糊味了。话还没说完，那ว桅杆上的白色篷帆腾地变成一团烈火燃烧起来。接那浸ฤ了油的帆绳、木头桅杆都劈劈啪啪地ㄌ了火，火苗四散，继而浪ฐ烟大火，弥慢了整个船台。那些八只战舰拼起来的超级战台，因为互相连锁着，哪一个也不能逃脱。水手们心里一慌，桨法错乱，船台在波峰浪ฐ谷间只是滴溜溜地打转。不一会，其他的船台上也起了大火，可怜克劳狄乌斯ั辛苦经营的舰队，都化作了焦糊的木板漂散在地中ณ海上，他自己้幸得几只没有上锁的战舰搭救，率领残军仓惶驶向那浩渺的烟波里，逃命去了。
原来这阿基米德真是靠海神波赛依顿帮的忙。那灯塔是将火光平行反射出去，他是利ำ用光线的可逆原理，将那平行的太阳光聚集起来。似火骄阳放射出的无数光束经这群娘子军手中的镜子一集中ณ，其热度不亚于一团大火。骄傲而又对光学无知的克劳狄乌斯怎么会知道阿基米德指挥这群妇女将他置于这面大镜的焦点上呢？亏得他侥幸，不然这火将他烤熟ງ也是毫不费力的。这样说来读者也许不信，但后人对此确曾作过验证。1้747年，法国科学家布韦用360面边长15厘米的正方形镜拼成了一个大凹面镜，将阳光聚起来烧着了7๕0米外的木柴堆，烧熔了3๑0米外的铝和18๖米外的银。到20世纪70年代，在阿基米德的故乡西西里岛的阿拉诺镇，在这个当年曾经用镜子火烧战船的地方แ，欧洲九个ฐ国家决定联合建造一座太阳能电站。工程技术负责人说，这项工程的原理很简单，就是当年阿基米德指挥妇女们打败敌舰的原理。这是后话。
却说当时阿基米德站在高处看见克劳狄乌斯的海ร军已被火烧水淹，漂零而退，岸上的妇女、孩子们欢呼、雀跃，但他只是舒了一口长气。他向来不主张用科学杀人，只是强敌当头，兵临城下，为救全城百姓，才不得不姑且为之。他再望望海面，确实没有敌舰了，便招呼大家回城，一面对身边的随从说：快备马，到城北看看那边打得怎样了？